本题目所在的杯赛真题试卷：
🏆2025迎春杯数学花园探秘决赛C卷-小中年级
四年级
迎春杯
2025
困难
计数与组合
题目内容
题234【填空题】
由 12 个相同的小正方体无盖盒子如图摆放，每个盒子内放入若干个相同的球，其球数恰好等于它相邻的盒子中无球的盒子的个数，那么满足要求的放球方式有_________种。（两个盒子有公共顶点、公共边或公共面均视为相邻）
参考答案
22
题目解析
问题转化为一个 3×4 的棋盘填数，每个格子填入的数字为与其相邻的格子中填 0 的个数，依题意，0 与 0 不能相邻，且 0 确定填法其他格子即可唯一确定数值。设第二行中间两个位置 A、B：
（1）若A 或B 为0，根据对称性不妨假设A 为0，那么与A 相邻的8 个格子均不为0，那么C、D、E 三个格子0 的情况只能是D 为0 或C 和E 同时为0 两种情况，所以共有2×2=4 种。
（2）若AB 均不为0 时，将棋盘分成左右两个部分，则每部分最多2 个0，最少1 个0. 按照0 的总数来分类：
若有2 个0: 左右各1 个0，则都只能在第二行，有1 种；
若有3 个0: 左右有一侧有2 个0，则不能在第二行，另一侧只能在第二行，有2×2×2＝8 种;
若有4 个0: 左右侧各有2 个0，则都不能在第二行，第一行的两个0有22 1 3种方法，第三行的两个0也有3种放法，共有33 9种;
共有1+8+9=18 种不同放法．
综上，一共4+18=22 种放法。
（1）若A 或B 为0，根据对称性不妨假设A 为0，那么与A 相邻的8 个格子均不为0，那么C、D、E 三个格子0 的情况只能是D 为0 或C 和E 同时为0 两种情况，所以共有2×2=4 种。
（2）若AB 均不为0 时，将棋盘分成左右两个部分，则每部分最多2 个0，最少1 个0. 按照0 的总数来分类：
若有2 个0: 左右各1 个0，则都只能在第二行，有1 种；
若有3 个0: 左右有一侧有2 个0，则不能在第二行，另一侧只能在第二行，有2×2×2＝8 种;
若有4 个0: 左右侧各有2 个0，则都不能在第二行，第一行的两个0有22 1 3种方法，第三行的两个0也有3种放法，共有33 9种;
共有1+8+9=18 种不同放法．
综上，一共4+18=22 种放法。