本题目所在的杯赛真题试卷：
🏆2025迎春杯数学花园探秘小高年级决赛C卷
六年级
迎春杯
2025
困难
逻辑推理
操作与策略问题（如必胜策略）
题目内容
题209【问答题】
对于一个给定的方格表，每次操作可以选择以下图中四种模式之一，将所选模式中的三个格子内的数同时加 1。
(1) 如图 1, 至少需要操作_________次，才能使每个格子内的数的奇偶性都相同，请直接给出答案；(3 分)
(2) 如图 2, 至少需要操作多少次，才能使每个格子内的数都变成奇数？请描述具体的操作方法；(6 分)
(3) 如图 3, 能否通过若干次操作，使所有格子内的数变成相同的数？请说明理由.(6 分)
(1) 如图 1, 至少需要操作_________次，才能使每个格子内的数的奇偶性都相同，请直接给出答案；(3 分)
(2) 如图 2, 至少需要操作多少次，才能使每个格子内的数都变成奇数？请描述具体的操作方法；(6 分)
(3) 如图 3, 能否通过若干次操作，使所有格子内的数变成相同的数？请说明理由.(6 分)
参考答案
(1) 2 次；(2) 5 次；(3) 不能
题目解析
(1) 按对应模式操作即可；
(2) 四个角格都至少被操作一次，故操作次数≥4，每个格子的奇偶性都改变，即所有格子中的数之和是奇数，每次操作总和 + 3，所以操作次数是奇数，即操作次数至少是 5 次，按对应模式操作即可；
(3) 按中心格、边格、角格进行分类，最初的状态：中心格是 5，边格数之和是 20，角格数之和是 20，如果最终 9 个格子中的数都变成了 T，那么中心格是 T，边格数之和是 \( 4T \) ，角格数之和是 \( 4T \) ，每一次操作对中心格、边格、角格的影响如下：
一旦进行了拐角在中心格或角格的操作，就会使边格的四个数之和大于角格的四个数之和，为了确保边格数之和和角格数之和相等 (都是 4T)，只能做拐角在边格的操作，进行了 m 次拐角在边格的操作后， \( \frac {中心数}{边格之和}=\frac {5+m}{20+m}>\frac {1}{4} \) ，即在中心格为 T 时，边格数之和不可能是 \( 4T \) ，综上，不能变成相同的数
(2) 四个角格都至少被操作一次，故操作次数≥4，每个格子的奇偶性都改变，即所有格子中的数之和是奇数，每次操作总和 + 3，所以操作次数是奇数，即操作次数至少是 5 次，按对应模式操作即可；
(3) 按中心格、边格、角格进行分类，最初的状态：中心格是 5，边格数之和是 20，角格数之和是 20，如果最终 9 个格子中的数都变成了 T，那么中心格是 T，边格数之和是 \( 4T \) ，角格数之和是 \( 4T \) ，每一次操作对中心格、边格、角格的影响如下：
一旦进行了拐角在中心格或角格的操作，就会使边格的四个数之和大于角格的四个数之和，为了确保边格数之和和角格数之和相等 (都是 4T)，只能做拐角在边格的操作，进行了 m 次拐角在边格的操作后， \( \frac {中心数}{边格之和}=\frac {5+m}{20+m}>\frac {1}{4} \) ，即在中心格为 T 时，边格数之和不可能是 \( 4T \) ，综上，不能变成相同的数
视频解析
None