本题目所在的杯赛真题试卷：
🏆2025春季走美杯数学竞赛真题含解析-五年级
五年级
走美杯
2025
困难
计数与组合
容斥原理
题目内容
题122【填空题】
某年级有 A ､B ､C 三个兴趣小组｡有 90 名学生不是 A 兴趣小组，有 86 名学生不是 B 兴趣小组，有 56 名学生不是 C 兴趣小组｡已知每名学生都参加了一个或两个兴趣小组，那么:
(1) 这个年级至少有多少人？
(2) 这个年级至多有多少人？
(1) 这个年级至少有多少人？
(2) 这个年级至多有多少人？
参考答案
116;232
题目解析
假设该年级共有N名学生，根据题意：非 A=
\( N - 90 \)
；非 B=
\( N - 86 \)
；非 C=
\( N - 56 \)
；则非 A + 非 B + 非 C=
\( (N - 90) + (N - 86) + (N - 56) = 3N - 232 \)
。因为每名学生都参加了一个或者两个兴趣小组，所以上述结果在学生总数N的基础上，多计算了一次参加两个兴趣小组的学生人数，即实际结果为
\( N + (AB + AC + BC) \)
。则可以得到等式：
\( 3N - 232 = N + (AB + AC + BC) \)
，化简后得到
\( 2N = AB + AC + BC + 232 \)
。
当 \( AB + AC + BC = 0 \) 时，即所有人都只报了一个兴趣小组时，N取最小值，为 116；
当 \( AB + BC + AC = N \) 时，即所有人都报了两个兴趣小组时，N取最大值，为 232。
当 \( AB + AC + BC = 0 \) 时，即所有人都只报了一个兴趣小组时，N取最小值，为 116；
当 \( AB + BC + AC = N \) 时，即所有人都报了两个兴趣小组时，N取最大值，为 232。