将被 6 除余数为r的数表示为： \( 6k + r \) ，( \( r < 6 \) )。根据题意，可以得到等式： \( N^{2} = (6k + r)^{2} = 36k^{2} + 12kr + r^{2} \) 。根据分解后的算式可以看出，判断余数的情况，只需要考虑 \( r^{2} \) 即可。因为r在\(0\sim5\)之间，因此r除以 6 的余数只可能是 0、1、3、4，共 4 种情况。