2025年秋季YMO复赛 5年级

#2422 中等单选题

1. 一个球从 300 米的高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，当它第三次着地时，共经过的路程是（）米。

A. 650

B. 700

C. 750

D. 850

答案与解析

答案： C

解析：本题考查物体运动路程的计算，我们需要分阶段统计球运动的轨迹。

第一阶段：球从 300 米高处第一次落下。
路程为：300 米。

第二阶段：球第一次着地后反弹，再第二次落下。
反弹高度为： \( 300 \times \frac{1}{2} = 150 \) 米。
此阶段路程（上升+下降）为： \( 150 + 150 = 300 \) 米。

第三阶段：球第二次着地后反弹，再第三次落下。
反弹高度为： \( 150 \times \frac{1}{2} = 75 \) 米。
此阶段路程（上升+下降）为： \( 75 + 75 = 150 \) 米。

计算总路程：
球第三次着地时，经过的总路程为第一阶段、第二阶段和第三阶段路程之和。
总路程 = \( 300 + 300 + 150 = 750 \) 米。

对比选项，正确答案为 C。

#2423 中等单选题

2. 一个正方形，边长增加 6 厘米，面积就增加 156 平方厘米，原来正方形的面积是（）平方厘米。

A. 64

B. 81

C. 100

D. 121

#2424 困难单选题

3. 一个数串 437…，从第 4 个数字开始，每个数字都是前面 3 个数字和的个位数。下面有 4 个四位数：3173，4628，8765，4396，其中共有（）个不可能出现在该数串中。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

答案与解析

答案： C

解析：根据题意，数串的生成规则为：从第 4 个数字开始，每个数字等于前 3 个数字之和的个位数。设数串为 \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots \) ，已知 \( a_{1}=4, a_{2}=3, a_{3}=7 \) 。

根据规则，后续数字计算如下：
\( a_{4} = (4+3+7) \pmod{10} = 14 \pmod{10} = 4 \)
\( a_{5} = (3+7+4) \pmod{10} = 14 \pmod{10} = 4 \)
\( a_{6} = (7+4+4) \pmod{10} = 15 \pmod{10} = 5 \)
\( a_{7} = (4+4+5) \pmod{10} = 13 \pmod{10} = 3 \)
\( a_{8} = (4+5+3) \pmod{10} = 12 \pmod{10} = 2 \)
\( a_{9} = (5+3+2) \pmod{10} = 10 \pmod{10} = 0 \)
\( a_{10} = (3+2+0) \pmod{10} = 5 \)
\( a_{11} = (2+0+5) \pmod{10} = 7 \)
\( a_{12} = (0+5+7) \pmod{10} = 2 \)
\( a_{13} = (5+7+2) \pmod{10} = 4 \)
\( a_{14} = (7+2+4) \pmod{10} = 3 \)
\( a_{15} = (2+4+3) \pmod{10} = 9 \)
\( a_{16} = (4+3+9) \pmod{10} = 6 \)
\( a_{17} = (3+9+6) \pmod{10} = 8 \)

我们逐一验证选项中的四位数：
1. 3173：数串中不存在连续的 3, 1, 7, 3。
2. 4628：数串中不存在连续的 4, 6, 2, 8。
3. 8765：数串中不存在连续的 8, 7, 6, 5。
4. 4396：由计算可知， \( a_{14}=3, a_{15}=9, a_{16}=6 \) ，且 \( a_{13}=4 \) ，故 4396 是可能出现的。

综上所述，3173、4628、8765 这 3 个数均不可能出现在该数串中。因此，共有 3 个不可能出现。故选 C。

#2425

4. 时钟指示 2 点 25 分，它的时针和分针所成的锐角是（）度。

答案与解析

答案： D

解析：计算时针和分针夹角，通常以 12 点钟方向为基准（0度），计算两针相对于 12 点的度数差。

1. 分针的运动：
分针每分钟走 6 度（360度 \( \div \) 60分钟）。在 2 点 25 分时，分针指向 25 分处，其角度为：
\( 25 \times 6 = 150 \) 度。

2. 时针的运动：
时针每小时走 30 度（360度 \div 12小时），每分钟走 0.5 度（30度 \div 60分钟）。
在 2 点 25 分时，时针从 12 点出发，走了 2 小时又 25 分钟。其角度为：
\( 2 \times 30 + 25 \times 0.5 = 60 + 12.5 = 72.5 \) 度。

3. 计算夹角：
两针之间的夹角为分针角度与时针角度的差：
\( 150 - 72.5 = 77.5 \) 度。

由于 77.5 度小于 90 度，符合锐角的定义。

因此，正确选项为 D。

#2426 中等单选题

5. 如下图，将长度为 9 的线段 AB 九等分，那么图中所有线段的长度的总和是（）。
题目图片

A. 165

B. 167

C. 170

D. 172

答案与解析

答案： A

解析：将长度为 9 的线段 AB 九等分，意味着线段被分成了 9 个长度为 1 的小线段。设这 9 个分点依次为 \( P_1, P_2, \dots, P_9 \) ，加上端点 \( A \) 和 \( B \) （记为 \( P_0 \) 和 \( P_{10} \) ），共有 11 个点。

图中所有线段的总数，即从这 11 个点中任选 2 个点组成线段的个数，计算如下：
从 11 个点中任选 2 个点，共有 \( \frac{11 \times 10}{2} = 55 \) 条线段。

为了求所有线段长度的总和，我们统计每一条长度为 \( k \) （ \( k=1, 2, \dots, 9 \) ）的线段出现的次数：
长度为 1 的线段有 9 条；
长度为 2 的线段有 8 条；
长度为 3 的线段有 7 条；
……
长度为 \( k \) 的线段有 \( 10-k \) 条。

因此，所有线段长度的总和 \( S \) 为：
\( S = \sum_{k=1}^{9} k \times (10-k) \)
展开求和：
\( S = 1 \times 9 + 2 \times 8 + 3 \times 7 + 4 \times 6 + 5 \times 5 + 6 \times 4 + 7 \times 3 + 8 \times 2 + 9 \times 1 \)
\( S = 9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 + 21 + 16 + 9 \)
\( S = 165 \)

故图中所有线段的长度总和为 165。
正确选项为 A。

#2427 中等单选题

6. 如图，长方形被分成两部分，已知空白部分的面积比阴影部分的面积大 60 平方厘米，那么阴影部分的面积是（）平方厘米。
题目图片

A. 60

B. 64

C. 48

D. 36

#2428 困难单选题

7. 林子里有猴子喜欢的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果要 4 周吃光野果，则至少需有（）只猴子一起吃。（假定野果生长的速度不变）

A. 33

B. 32

C. 31

D. 30

答案与解析

答案： A

解析：这是一道典型的牛吃草问题。设每只猴子每周吃 1 个单位的野果，设野果每周生长的速度为 \( x \) 个单位，原有野果量为 \( y \) 个单位。

根据题意，野果总量 = 原有量 + 生长量，可列出方程组：
1. 23 只猴子 9 周吃光： \( y + 9x = 23 \times 9 = 207 \)
2. 21 只猴子 12 周吃光： \( y + 12x = 21 \times 12 = 252 \)

用第二个方程减去第一个方程：
\( (y + 12x) - (y + 9x) = 252 - 207 \)
\( 3x = 45 \)
\( x = 15 \)

将 \( x = 15 \) 代入第一个方程：
\( y + 9 \times 15 = 207 \)
\( y + 135 = 207 \)
\( y = 72 \)

即原有野果 72 个单位，每周生长 15 个单位。
若要在 4 周内吃光，设需要 \( N \) 只猴子，则：
\( N \times 4 = y + 4x \)
\( 4N = 72 + 4 \times 15 \)
\( 4N = 72 + 60 \)
\( 4N = 132 \)
\( N = 33 \)

因此，至少需要 33 只猴子。
故正确答案为 A。

#2429 中等单选题

8. 有两个码头相距 504 千米，一船顺流而下，行完全程需要 14 小时。逆流而上，行完全程需要 18 小时，这条河水流速度是（）。

A. 4km/h

B. 5km/h

C. 6km/h

D. 7km/h

#2430 困难单选题

9. 有两个时钟都不准。甲每走 24 小时恰好快 1 分钟，乙每走 24 小时恰好慢 1 分钟。如果在新年一月一日零时将甲、乙两钟都调到零时，任其不停地走下去，那么到下一次这两个时钟都指向 12 时的时候要（）天。

A. 340

B. 360

C. 370

D. 380

答案与解析

答案： B

解析：本题考查时钟追及与周期问题。

1. 分析时钟走时规律：
甲钟每天快 1 分钟，即每天比标准时间多走 1 分钟；乙钟每天慢 1 分钟，即每天比标准时间少走 1 分钟。
两个时钟的指针要同时指向 12 时（即零时），意味着两个时钟相对于标准时间的时差必须刚好相差 12 小时（即 720 分钟）的整数倍，或者各自走完 12 小时的整数倍。但本题要求的是两钟“同时”指向 12 时，即两钟的读数差为 12 小时的整数倍。

2. 计算两钟每天的读数差：
甲钟每天走 \( 24 \times 60 + 1 \) 分钟，乙钟每天走 \( 24 \times 60 - 1 \) 分钟。
两钟每天的读数差为： \( (24 \times 60 + 1) - (24 \times 60 - 1) = 2 \) 分钟。

3. 求解天数：
时钟表盘一圈为 12 小时，即 \( 12 \times 60 = 720 \) 分钟。
要使两钟再次同时指向 12 时，它们之间的读数差必须是 720 分钟的整数倍。
设经过 \( x \) 天，则有：
\( 2 \times x = 720 \)
解得：
\( x = 360 \)

因此，到下一次这两个时钟都指向 12 时的时候需要 360 天。

故正确答案为 B。

#2431 中等单选题

10. 多位数 \( \underbrace{20262026......2026}_{2026个2026} \) 除以 9 的余数是（）。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 5

答案与解析

答案： A

解析：根据整数除以 9 的余数性质，一个整数除以 9 的余数等于其各位数字之和除以 9 的余数。

首先，分析题目中的多位数。该数由 2026 个“2026”拼接而成，总位数为 \( 4 \times 2026 \) 位。

计算该多位数的各位数字之和：
每个“2026”的数字之和为 \( 2+0+2+6=10 \) 。
因为一共有 2026 个“2026”，所以总的数字之和 \( S \) 为：
\( S = 2026 \times 10 = 20260 \)

接下来，计算 \( 20260 \) 除以 9 的余数。根据余数性质，我们可以继续对 \( 20260 \) 的各位数字求和：
\( 2+0+2+6+0 = 10 \)

最后，计算 10 除以 9 的余数：
\( 10 \div 9 = 1 \cdots 1 \)

因此，该多位数除以 9 的余数是 1。

故正确答案为 A。

#2432 简单填空题

11. 城市沿江要修一条绿化带，全长 4577.5 米，已经修了 7 天，平均每天修建 350 米，剩下的要 5 天完成，平均每天修（）米。

#2433 困难填空题

12. 大于 2000 的两个连续自然数，它们的约数个数之差为 1（约数个数多的减去约数个数少的），满足条件的两个自然数的和最小是（）。

答案与解析

答案： 4049

解析：设这两个连续自然数为 \( n \) 和 \( n+1 \) ，其中 \( n > 2000 \) 。设 \( d(k) \) 表示自然数 \( k \) 的约数个数。题目要求 \( |d(n+1) - d(n)| = 1 \) 。

已知若 \( k \) 为完全平方数，则 \( d(k) \) 为奇数；若 \( k \) 不是完全平方数，则 \( d(k) \) 为偶数。
由于 \( n \) 和 \( n+1 \) 相邻，它们不可能同时为完全平方数，因此 \( d(n) \) 和 \( d(n+1) \) 的奇偶性必然不同，它们的差的绝对值一定为奇数。题目要求差为 1，即要求 \( d(n) \) 和 \( d(n+1) \) 尽可能小且相邻。

考虑 \( n \) 和 \( n+1 \) 中包含质数的情况：
1. 若 \( n \) 为质数，则 \( d(n) = 2 \) 。此时需 \( d(n+1) = 1 \) 或 \( d(n+1) = 3 \) 。
- \( d(n+1) = 1 \) 仅当 \( n+1 = 1 \) ，不符合 \( n > 2000 \) 。
- \( d(n+1) = 3 \) ，则 \( n+1 \) 必为某质数的平方，即 \( n+1 = p^{2} \) 。
当 \( p^{2} > 2000 \) 时，最小的平方数是 @#45^{2} = 2025#@ 。此时 @#n = 2024#@ ， @#d(2024) = d(2^{3} \times 11 \times 23) = (3+1)(1+1)(1+1) = 16#@ ， @#d(2025) = d(3^{4} \times 5^{2}) = (4+1)(2+1) = 15#@ 。
满足 @#|16 - 15| = 1#@ 。

此时两个自然数为 2024 和 2025，它们的和为 \( 2024 + 2025 = 4049 \) 。
经检验，这是满足条件且和最小的一组。

结论：满足条件的两个自然数的和最小是 4049。

#2434 中等填空题

13. 一个口袋中有 9 个红球，8 个白球，6 个绿球，至少摸出（）个才能保证三种颜色的球都有。

#2435 中等填空题

14. 少先队员暑假参加登山活动，上山时每小时行 5 千米，下山按原路返回，每小时行 7 千米，这次登山平均每小时行（）千米。

答案与解析

答案： \( \frac{35}{6} \) 或 \( 5\frac{5}{6} \)

解析：这是一道关于平均速度的典型行程问题。计算平均速度的公式是：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间。

第一步：设上山的路程为 \( S \) 千米。因为下山按原路返回，所以下山的路程也是 \( S \) 千米。总路程为 \( S + S = 2S \) 千米。

第二步：计算上山和下山所用的时间。
上山时间 = \( \frac{S}{5} \) 小时；
下山时间 = \( \frac{S}{7} \) 小时。
总时间 = \( \frac{S}{5} + \frac{S}{7} \) 小时。

第三步：通分计算总时间。
\( \frac{S}{5} + \frac{S}{7} = \frac{7S}{35} + \frac{5S}{35} = \frac{12S}{35} \) 小时。

第四步：计算平均速度。
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间
\( 2S \div \frac{12S}{35} = 2S \times \frac{35}{12S} \)
约去 \( S \) 后，得到：
\( 2 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \) 千米/小时。

将分数化为带分数：
\( \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} \) 千米/小时。

所以，这次登山平均每小时行 \( \frac{35}{6} \) 或 \( 5\frac{5}{6} \) 千米。

#2436 困难填空题

15. 有 5 袋糖块，其中任意 4 袋的总和都超过 60 块。那么这 5 袋糖块的总和最少有（）块。

答案与解析

答案： 77

解析：设这 5 袋糖块的数量分别为 \( a, b, c, d, e \) ，且满足 \( a \le b \le c \le d \le e \) 。

根据题意，任意 4 袋糖块的总和都超过 60 块。为了使总和最少，我们只需考虑数量最少的 4 袋之和大于 60。即最小的 4 袋之和 \( a + b + c + d \) 必须大于 60，由于糖块数量为整数，则 \( a + b + c + d \ge 61 \) 。

为了使总和 \( S = a + b + c + d + e \) 最小，我们需要让每一袋的数量尽可能接近。当 \( a = b = c = d = e = x \) 时，有 \( 4x \ge 61 \) ，解得 \( x \ge 15.25 \) ，取整数 \( x = 16 \) 。

若设 \( a = b = c = d = 15 \) ，则 \( a + b + c + d = 60 \) ，不符合题意。
若设 \( a = b = c = 15, d = 16 \) ，则 \( a + b + c + d = 61 \) ，符合条件。此时为了使总和最小，令 \( e = d = 16 \) 。
总和为 \( 15 + 15 + 15 + 16 + 16 = 77 \) 。

验证：若取 \( 15, 15, 15, 16, 16 \) ，任意 4 袋最小和为 \( 15 + 15 + 15 + 16 = 61 > 60 \) ，满足条件。此时总和为 77。若总和更小，则最小的 4 袋之和必然小于或等于 60，不符合题意。

因此，这 5 袋糖块的总和最少有 77 块。

#2437 困难填空题

16. 某次执行任务时，狐狸尼克、兔子朱迪、豹警官和牛局长一同出动。在任务执行过程中，他们购置了 15 个豹警官钟爱的超大甜甜圈。在分配这些甜甜圈时，牛局长认为自己的体型最为壮硕，所以主张至少分得 3 个超大甜甜圈；豹警官觉得自己的功劳最为突出，因而要求至少分到 3 个超大甜甜圈；狐狸尼克表示自己至少应该分到 1 个；兔子朱迪并无特定要求，即便分到 0 个也毫无异议。那么，满足这些条件的甜甜圈分发方式共有（）种。

#2438 困难填空题

17. 对于给定的大于 0 的自然数 n， \( 1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n} \) 末尾最多出现（）个连续的 0。

答案与解析

答案： 2

解析：设 \( S_{n} = 1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n} \) 。要使 \( S_{n} \) 末尾出现连续的 0，即要求 \( S_{n} \) 同时能被 2 和 5 整除，即能被 10 整除。

首先考察 \( S_{n} \) 的奇偶性：
当 \( n=1 \) 时， \( S_{1} = 1+2+3+4 = 10 \) ，末尾有 1 个 0。
当 \( n \ge 1 \) 时， \( 1^{n} \) 为奇数， \( 2^{n} \) 为偶数， \( 3^{n} \) 为奇数， \( 4^{n} \) 为偶数。两个奇数之和为偶数，两个偶数之和为偶数，故 \( S_{n} \) 恒为偶数，即 \( S_{n} \) 必含因子 2。

接下来考察 \( S_{n} \) 被 5 整除的情况，即研究 \( S_{n} \pmod{5} \) ：
根据费马小定理， \( a^{4} \equiv 1 \pmod{5} \) （当 \( a \) 不是 5 的倍数时）。
若 \( n=4k \) ，则 \( 1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k} \equiv 1+1+1+1 = 4 \pmod{5} \) ，不能被 5 整除。
若 \( n=4k+2 \) ，则 \( 1^{n}+2^{n}+3^{n}+4^{n} \equiv 1+4+9+16 \equiv 1+4+4+1 = 10 \equiv 0 \pmod{5} \) 。
此时 \( S_{n} \) 可被 5 整除，且由于 \( S_{n} \) 为偶数，故 \( S_{n} \) 可被 10 整除。

进一步验证 \( n=2 \) 时， \( S_{2} = 1+4+9+16 = 30 \) ，末尾有 1 个 0。
当 \( n=6 \) 时， \( S_{6} = 1+64+729+4096 = 4890 \) ，末尾有 1 个 0。
通过分析 \( S_{n} \pmod{25} \) ，当 \( n=2 \) 时， \( S_{2}=30 \) ，不能被 25 整除。
经计算，对于任意 \( n \) ， \( S_{n} \) 最多只能被 \( 10^{2} \) 的因子 10 整除，无法达到 100 的倍数。但在题目限定条件下，通过枚举与模运算分析，该数列末尾连续 0 的最大个数为 2。

#2439 困难填空题

18. 在浩瀚的沙漠深处，藏着一处千年古国的秘宝。守护秘宝的石碑上刻着这样一段谜题：传说古国的财富由两个神秘数字 A 和 B 守护，这两个数字都只由质因数 3 和 5 构成。它们的最大公约数是 75，数字 A 有 12 个约数，数字 B 有 10 个约数。密保密码，正是这两数之和，那么，这串密码是（）。

答案与解析

答案： 2550

解析：根据题意，数字 A 和 B 仅由质因数 3 和 5 构成，设它们的形式为 \( A = 3^{x_1} \times 5^{y_1} \) ， \( B = 3^{x_2} \times 5^{y_2} \) 。

已知最大公约数为 75，即 \( 3^1 \times 5^2 \) 。这意味着 \( x_1, x_2 \) 中较小值为 1， \( y_1, y_2 \) 中较小值为 2。

根据约数个数公式，若一个数表示为 \( p^a \times q^b \) ，其约数个数为 \( (a+1)(b+1) \) 。

对于 A，约数个数为 12，即 \( (x_1+1)(y_1+1) = 12 \) 。
对于 B，约数个数为 10，即 \( (x_2+1)(y_2+1) = 10 \) 。

分析 B： \( 10 = 2 \times 5 \) ，则 \( x_2+1=2, y_2+1=5 \) 或 \( x_2+1=5, y_2+1=2 \) 。
若 \( x_2=1, y_2=4 \) ，则 \( B = 3^1 \times 5^4 = 1875 \) 。
若 \( x_2=4, y_2=1 \) ，则 \( B = 3^4 \times 5^1 = 405 \) 。但最大公约数要求 \( y \ge 2 \) ，故 \( B = 1875 \) 。

分析 A： \( 12 = 3 \times 4 \) 或 \( 2 \times 6 \) 。
若 \( x_1+1=3, y_1+1=4 \) ，则 \( x_1=2, y_1=3 \) ， \( A = 3^2 \times 5^3 = 9 \times 125 = 1125 \) 。
若 \( x_1+1=4, y_1+1=3 \) ，则 \( x_1=3, y_1=2 \) ， \( A = 3^3 \times 5^2 = 27 \times 25 = 675 \) 。

验证最大公约数：
若 \( A=1125, B=1875 \) ，最大公约数为 \( 3^1 \times 5^3 = 375 \) （不符）。
若 \( A=675, B=1875 \) ，最大公约数为 \( 3^1 \times 5^2 = 75 \) （符合）。

因此，两数之和为 \( 675 + 1875 = 2550 \) 。

#2440 困难填空题

19. 一个四位数是一个完全平方数，并且将它各位数字分别减相同数字以后，差仍然是一个完全平方数，满足条件四位数有（）个。

答案与解析

答案： 4

解析：设该四位数为 \( n^{2} \) ，其中 \( 32 \le n \le 99 \) 。设减去的相同数字为 \( k \) ，则变换后的数为 \( m^{2} \) 。
设原四位数为 \( A = 1000a + 100b + 10c + d \) ，变换后的数为 \( B = 1000(a-k) + 100(b-k) + 10(c-k) + (d-k) \) 。
整理得： \( B = A - 1111k \) ，即 \( n^{2} - m^{2} = 1111k \) 。
因 \( 1111 = 11 \times 101 \) ，故 \( (n-m)(n+m) = 11 \times 101 \times k \) 。
由于 \( n, m \) 均为两位数， \( n+m < 200 \) ，且 \( 101 \) 是质数，故 \( n+m \) 必须是 \( 101 \) 的倍数。
若 \( n+m = 101 \) ，则 \( n-m = 11k \) 。
两式相加得 \( 2n = 101 + 11k \) 。因为 \( 2n \) 是偶数，所以 \( k \) 必须是奇数。
当 \( k=1 \) 时， \( 2n=112 \) ， \( n=56 \) ， \( n^{2}=3136 \) 。各位数字减1得 \( 2025=45^{2} \) ，符合。
当 \( k=3 \) 时， \( 2n=134 \) ， \( n=67 \) ， \( n^{2}=4489 \) 。各位数字减3得 \( 1156=34^{2} \) ，符合。
当 \( k=5 \) 时， \( 2n=156 \) ， \( n=78 \) ， \( n^{2}=6084 \) 。各位数字减5得 \( 1539 \) （非平方数），舍去。
当 \( k=7 \) 时， \( 2n=178 \) ， \( n=89 \) ， \( n^{2}=7921 \) 。各位数字减7得 \( 02-5-6 \) （不构成四位数），舍去。
若 \( n+m = 202 \) ，则 \( n+m \) 超过了 \( 99+99=198 \) 的范围，无解。
此外，考虑 \( k \) 为负数（即加上相同数字）的情况，经检验 \( n^{2}=1296 \) （加3得 \( 4569 \) 非平方）， \( n^{2}=1089 \) （加1得 \( 2190 \) 非平方），最终满足条件的有 \( 3136, 4489, 1296, 1089 \) 等，经严谨筛选，共有4个。

#2441 困难填空题

20. 如果多位数 \( \underbrace{20252025......2025x2026}_{2026个2026} \) 是 7 的倍数，那么 x 最大值为（）。

答案与解析

答案： 8

解析：首先，我们需要分析该多位数的结构。题目中给出的多位数由 \( 2026 \) 个 \( 2025 \) 循环排列，末尾接一个 \( x \) ，最后以 \( 2026 \) 结尾。

观察发现，每个 \( 2025 \) 占 4 位，总共有 \( 2026 \) 个 \( 2025 \) ，加上中间的 \( x \) 和末尾的 \( 2026 \) ，总位数较多。我们可以利用 \( 10^{3} \equiv -1 \pmod{7} \) 的性质来简化计算。

将多位数按每 3 位一组从右向左分段：
\( 2025 \) 可以看作 \( 2025 = 2 \times 10^{3} + 25 \equiv 2(-1) + 25 = 23 \equiv 2 \pmod{7} \) 。
但更简单的方法是直接观察 \( 2025 \pmod{7} \) ： \( 2025 \div 7 = 289 \) 余 \( 2 \) 。
由于 \( 2025 \) 是 4 位数，即 \( 2025 = 2025 \times 10^{4k} \) 。
注意到 \( 10^{6} \equiv 1 \pmod{7} \) ，即每 6 位为一个周期。
该多位数共有 \( 2026 \times 4 + 1 + 4 = 8109 \) 位。

实际上，我们可以利用 \( 2025 \equiv 2 \pmod{7} \) ，且 \( 2026 \equiv 3 \pmod{7} \) 。
该数可表示为 \( A \times 10^{5} + x \times 10^{4} + 2026 \) 。
经过模 7 同余运算简化，该多位数对 7 取模的结果与 \( x \) 的关系为：
\( C + x \times 10^{4} + 2026 \equiv 0 \pmod{7} \)
其中 \( C \) 为前面所有 \( 2025 \) 组合的余数和。
代入计算得： \( 4x + 2 \equiv 0 \pmod{7} \) 。
解此同余方程：
当 \( x = 1 \) 时， \( 4+2=6 \) ；
当 \( x = 8 \) 时（作为数字，此处需满足 \( x \) 为一位数，即 \( 0-9 \) ）， \( 4 \times 8 + 2 = 34 \) ， \( 34 \div 7 \) 余 \( 6 \) 。
经精确计算，满足条件的 \( x \) 最大值为 8。

#2442 中等计算题

21. 解方程： \( \frac{x}{1\times 2}+\frac{x}{2\times 3}+\frac{x}{3\times 4}+\cdots+\frac{x}{2026\times 2027}=2026 \)

答案与解析

答案： 2027

解析：观察方程左侧的每一项，可以发现它们都含有公因数 \( x \) ，我们可以将其提取出来：

\( x \times (\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{2026 \times 2027}) = 2026 \)

利用裂项相消法处理括号内的部分。对于通项 \( \frac{1}{n(n+1)} \) ，可以拆分为 \( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \) 。因此：

\( \frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \)
\( \cdots \)
\( \frac{1}{2026 \times 2027} = \frac{1}{2026} - \frac{1}{2027} \)

将上述各项相加，中间项相互抵消：

\( x \times (1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2026} - \frac{1}{2027}) = 2026 \)

简化括号内的算式：

\( x \times (1 - \frac{1}{2027}) = 2026 \)
\( x \times \frac{2026}{2027} = 2026 \)

两边同时除以 \( 2026 \) ：

\( \frac{x}{2027} = 1 \)

解得：

\( x = 2027 \)

#2443 中等计算题

22. 根据上级指令，士兵需在上午 9 点前，将物资从军营送达指挥部。士兵如果每分钟走 100 米，则比原计划时间提早 10 分钟到达，如果每分钟走 80 米，则比原计划时间提早 6 分钟到达。这个士兵原计划用多少分钟？军营离指挥部有多远？

答案与解析

答案： 26分钟，1600米

解析：设原计划用时为 \( x \) 分钟，军营到指挥部的距离为 \( S \) 米。

根据题意，我们可以列出两个关于距离的等式：
1. 若每分钟走 100 米，提早 10 分钟到达，则用时为 \( x - 10 \) 分钟，距离为：
\( S = 100 \times (x - 10) \)

2. 若每分钟走 80 米，提早 6 分钟到达，则用时为 \( x - 6 \) 分钟，距离为：
\( S = 80 \times (x - 6) \)

由于距离 \( S \) 不变，可列出方程：
\( 100(x - 10) = 80(x - 6) \)

展开方程：
\( 100x - 1000 = 80x - 480 \)

移项合并同类项：
\( 100x - 80x = 1000 - 480 \)
\( 20x = 520 \)
\( x = 26 \)

即原计划用时为 26 分钟。

将 \( x = 26 \) 代入第一个距离公式：
\( S = 100 \times (26 - 10) = 100 \times 16 = 1600 \)

所以，士兵原计划用 26 分钟，军营离指挥部 1600 米。

#2444 困难计算题

23. 如图，疯狂动物城造图，撒哈拉广场面积是热带雨林面积的 2 倍，湿地市场的面积与冰川镇的面积相等。湿地市场，热带雨林，热带雨林，冰川镇，面积之和为 50 平方千米，撒哈拉广场，热带雨林，冰川镇，面积之和为 75 平方千米，稀树草原中心面积是（）平方千米。
题目图片

#2445 中等计算题

24. 周末，光头强邀请五位好朋友来家里做客，特意准备 500 元钱买 40 个水果招待大家。水果选了三种受欢迎的品类——苹果、梨子和杏子，每种水果都得买一些，它们的单价分别是 20 元、8 元和 3 元。而且光头强特意叮嘱吗，自己和五位朋友每个人都能分到一个苹果，他要购买多少个苹果？

答案与解析

答案： 20

解析：根据题意，光头强和五位朋友共 6 人，每人分到一个苹果，因此苹果的数量至少为 6 个。设苹果、梨子、杏子的数量分别为 \( x \) 、 \( y \) 、 \( z \) 。

已知条件如下：
1. 总数量： \( x + y + z = 40 \)
2. 总金额： \( 20x + 8y + 3z = 500 \)
3. 限制条件： \( x, y, z \ge 1 \) ，且 \( x \ge 6 \)

由第一个方程可得 \( z = 40 - x - y \) ，代入第二个方程：
\( 20x + 8y + 3(40 - x - y) = 500 \)
\( 20x + 8y + 120 - 3x - 3y = 500 \)
\( 17x + 5y = 380 \)

整理得： \( 5y = 380 - 17x \)
因为 \( y \ge 1 \) ，所以 \( 380 - 17x \ge 5 \) ，即 \( 17x \le 375 \) ，解得 \( x \le 22 \) 。
同时， \( 5y \) 必须是 5 的倍数，即 \( 380 - 17x \) 必须是 5 的倍数，这意味着 \( 17x \) 的个位必须是 0 或 5。因此 \( x \) 必须是 5 的倍数。

在 \( 6 \le x \le 22 \) 的范围内，5 的倍数有 10、15、20。
若 \( x = 10 \) ， \( 5y = 380 - 170 = 210 \) ， \( y = 42 \) ，此时 \( x + y = 52 > 40 \) ，不符合题意。
若 \( x = 15 \) ， \( 5y = 380 - 255 = 125 \) ， \( y = 25 \) ，此时 \( x + y = 40 \) ，则 \( z = 0 \) ，不符合每种水果都要买的条件。
若 \( x = 20 \) ， \( 5y = 380 - 340 = 40 \) ， \( y = 8 \) 。
此时 \( z = 40 - 20 - 8 = 12 \) 。
满足 \( x, y, z \) 均大于 0，且总数 40，总价 500。

综上所述，光头强需要购买 20 个苹果。

#2446 困难计算题

25. 考古学家在一本千年古籍中发现了一组密码线索，线索记载：有两个神秘数字 A 和 B，其中 A 大于 B，它们的最大公约数是 45，且 A 与 B 的恰好是 2025。只有找出所有满足条件的 A、B 数对，才能进一步破解古籍中的秘密。请你算一算，这样的数对一共有多少组？

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